Em matemática, as séries hipergeométricas básicas, ou séries q-hipergeométricas, são generalizações em q-análogo das séries hipergeométricas generalizadas, e por sua vez são generalizadas pelas séries hipergeométricas elípticas. Uma série xn é chamada de hipergeométrica se a razão de termos sucessivos xn+1/xn é uma função racional de n. Se a razão de termos sucessivos é uma função racional de qn, então a série é chamada de série hipergeométrica básica. O número q é chamado de base. A série hipergeométrica básica
2
φ
1
(
q
α
,
q
β
;
q
γ
; q , x )
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}
foi primeiramente considerada por Eduard Heine (1846). Ela se torna a série hipergeométrica
F ( α , β ; γ ; x )
{\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}
no limite quando a base
q = 1
{\displaystyle q=1}
.
Definição Existem duas formas de séries hipergeométricas básicas, a série hipergeométrica básica unilateral φ, e a mais geral série hipergeométrica básica bilateral ψ. A série hipergeométrica básica unilateral é definida como
j
φ
k
[
a
1
a
2
...
a
j
b
1
b
2
...
b
k
; q , z
]
=
∑
n = 0
∞
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
j
; q
)
n
(
b
1
,
b
2
, ... ,
b
k
, q ; q
)
n
(
( − 1
)
n
q
(
n 2
)
)
1 + k − j
z
n
{\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}
onde
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
m
; q
)
n
= (
a
1
; q
)
n
(
a
2
; q
)
n
... (
a
m
; q
)
n
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}
e
( a ; q
)
n
=
∏
k = 0
n − 1
( 1 − a
q
k
) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a
q
2
) ⋯ ( 1 − a
q
n − 1
)
{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}
é o fatorial q-deslocado. O caso especial mais importante é quando j = k + 1, quando se torna
k + 1
φ
k
[
a
1
a
2
...
a
k
a
k + 1
b
1
b
2
...
b
k
; q , z
]
=
∑
n = 0
∞
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
k + 1
; q
)
n
(
b
1
,
b
2
, ... ,
b
k
, q ; q
)
n
z
n
.
{\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}
Esta série é chamada de balanceada se a1 ... ak + 1 = b1 ...bkq. Esta série é chamada de bem balanceada se a1q = a2b1 = ... = ak + 1bk, e muito bem balanceada se, além disso, a2 = −a3 = qa11/2. A série hipergeométrica básica unilateral é um q-análogo da série hipergeométrica pois
lim
q → 1
j
φ
k
[
q
a
1
q
a
2
...
q
a
j
q
b
1
q
b
2
...
q
b
k
; q , ( q − 1
)
1 + k − j
z
]
=
j
F
k
[
a
1
a
2
...
a
j
b
1
b
2
...
b
k
; z
]
{\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}
é válido (Koekoek & Swarttouw (1996)). A série hipergeométrica básica bilateral, correspondente à série hipergeométrica bilateral, é definida como
j
ψ
k
[
a
1
a
2
...
a
j
b
1
b
2
...
b
k
; q , z
]
=
∑
n = − ∞
∞
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
j
; q
)
n
(
b
1
,
b
2
, ... ,
b
k
; q
)
n
(
( − 1
)
n
q
(
n 2
)
)
k − j
z
n
.
{\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}
O caso especial mais importante é quando j = k, quando se torna
k
ψ
k
[
a
1
a
2
...
a
k
b
1
b
2
...
b
k
; q , z
]
=
∑
n = − ∞
∞
(
a
1
,
a
2
, ... ,
a
k
; q
)
n
(
b
1
,
b
2
, ... ,
b
k
; q
)
n
z
n
.
{\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}
A série unilateral pode ser obtida como um caso especial da bilateral definindo uma das variáveis b como sendo igual a q, pelo menos quando nenhuma das variáveis a for uma potência de q, já que todos os termos com n < 0 então desaparecem.
Séries simples Algumas expressões de séries simples incluem
z
1 − q
2
φ
1
[
q
q
q
2
; q , z
]
=
z
1 − q
+
z
2
1 −
q
2
+
z
3
1 −
q
3
+ ...
{\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }
e
z
1 −
q
1
/
2
2
φ
1
[
q
q
1
/
2
q
3
/
2
; q , z
]
=
z
1 −
q
1
/
2
+
z
2
1 −
q
3
/
2
+
z
3
1 −
q
5
/
2
+ ...
{\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }
e
2
φ
1
[
q
− 1
− q
; q , z
]
= 1 +
2 z
1 + q
+
2
z
2
1 +
q
2
+
2
z
3
1 +
q
3
+ ... .
{\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}
O teorema q-binomial O teorema q-binomial (publicado pela primeira vez em 1811 por Heinrich August Rothe) afirma que
1
φ
0
( a ; q , z ) =
( a z ; q
)
∞
( z ; q
)
∞
=
∏
n = 0
∞
1 − a
q
n
z
1 −
q
n
z
.
{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}.}
Pode ser provado aplicando repetidamente a identidade
1
φ
0
( a ; q , z ) =
1 − a z
1 − z
1
φ
0
( a ; q , q z ) .
{\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}
Quando
a =
q
− N
{\textstyle a=q^{-N}}
é uma potência inteira negativa de q, a soma hipergeométrica é finita e recupera-se a forma finita
∑
n = 0
N
y
n
q
n ( n + 1 )
/
2
[
N
n
]
q
=
∏
k = 1
N
(
1 + y
q
k
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}
do teorema q-binomial (também por vezes conhecido como teorema binomial de Cauchy). Aqui
[
N
n
]
q
{\textstyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}
é um coeficiente q-binomial. O caso especial de a = 0 está intimamente relacionado à q-exponencial.[carece de fontes]?
Identidade de Ramanujan Srinivasa Ramanujan deu a identidade
1
ψ
1
[
a
b
; q , z
]
=
∑
n = − ∞
∞
( a ; q
)
n
( b ; q
)
n
z
n
=
( b
/
a , q , q
/
a z , a z ; q
)
∞
( b , b
/
a z , q
/
a , z ; q
)
∞
{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}
válida para |q| < 1 e |b/a| < |z| < 1. Identidades semelhantes para
6
ψ
6
{\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}
foram dadas por Bailey. Tais identidades podem ser entendidas como generalizações do teorema do produto triplo de Jacobi, que pode ser escrito usando q-séries como
∑
n = − ∞
∞
q
n ( n + 1 )
/
2
z
n
= ( q ; q
)
∞
( − 1
/
z ; q
)
∞
( − z q ; q
)
∞
.
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}
Gwynneth Coogan e Ken Ono dão uma série de potências formal relacionada
A ( z ; q )
=
d e f
1
1 + z
∑
n = 0
∞
( z ; q
)
n
( − z q ; q
)
n
z
n
=
∑
n = 0
∞
( − 1
)
n
z
2 n
q
n
2
.
{\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}
Integral de contorno de Watson Como um análogo da integral de Barnes para a série hipergeométrica, Watson mostrou que
2
φ
1
( a , b ; c ; q , z ) =
− 1
2 π i
( a , b ; q
)
∞
( q , c ; q
)
∞
∫
− i ∞
i ∞
( q
q
s
, c
q
s
; q
)
∞
( a
q
s
, b
q
s
; q
)
∞
π ( − z
)
s
sin π s
d s
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}
onde os polos de
( a
q
s
, b
q
s
; q
)
∞
{\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}
situam-se à esquerda do contorno e os polos restantes situam-se à direita. Existe uma integral de contorno semelhante para r+1φr. Esta integral de contorno fornece uma continuação analítica da função hipergeométrica básica em z.
Versão matricial A função matriz hipergeométrica básica pode ser definida da seguinte forma:
2
φ
1
( A , B ; C ; q , z ) :=
∑
n = 0
∞
( A ; q
)
n
( B ; q
)
n
( C ; q
)
n
( q ; q
)
n
z
n
,
( A ; q
)
0
:= 1 ,
( A ; q
)
n
:=
∏
k = 0
n − 1
( 1 − A
q
k
) .
{\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}
O teste da razão mostra que esta função matricial é absolutamente convergente.
Ver também Identidade de Dixon Identidades de Rogers-Ramanujan
Notas
Referências Andrews, G. E. (2010). «q-Hypergeometric and Related Functions». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248 W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge. William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004) Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, Nova Iorque: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538 Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's
1
ψ
1
{\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}
Summation Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications, ISBN 978-0-8218-1524-3, Mathematical Surveys and Monographs, 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 956465 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, ISBN 978-0-521-83357-8, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 2nd ed. , Cambridge University Press, MR 2128719 Heine, Eduard (1846), «Über die Reihe
1 +
(
q
α
− 1 ) (
q
β
− 1 )
( q − 1 ) (
q
γ
− 1 )
x +
(
q
α
− 1 ) (
q
α + 1
− 1 ) (
q
β
− 1 ) (
q
β + 1
− 1 )
( q − 1 ) (
q
2
− 1 ) (
q
γ
− 1 ) (
q
γ + 1
− 1 )
x
2
+ ⋯
{\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }
», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 210–212 Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues (Relatório). Technical University Delft. no. 98-17 . Seção 0.2 Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press. Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125. Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlim.
Ligações externas Weisstein, Eric W. «q-Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)
