Em óptica quântica, as funções de correlação são usadas para caracterizar as propriedades estatísticas e de coerência – a capacidade das ondas de interferirem – da radiação eletromagnética, como a luz óptica. A coerência de ordem superior ou coerência de n-ésima ordem (para qualquer número inteiro positivo n>1) estende o conceito de coerência à óptica quântica e a experimentos de coincidência. É usado para diferenciar entre experimentos ópticos que exigem uma descrição mecânico-quântica daqueles para os quais campos clássicos são suficientes. Experimentos ópticos clássicos como o experimento de fenda dupla de Young e a interferometria de Mach-Zehnder são caracterizados apenas pela coerência de primeira ordem. O experimento de Hanbury Brown e Twiss de 1956 trouxe à luz um tipo diferente de correlação entre campos, nomeadamente a correlação de intensidades, que corresponde a coerências de segunda ordem. Ondas coerentes têm uma relação de fase constante bem definida. As funções de coerência, como introduzidas por Roy Glauber e outros na década de 1960, capturam a matemática por trás da intuição, definindo a correlação entre os componentes do campo elétrico como coerência. Essas correlações entre componentes do campo elétrico podem ser medidas em ordens arbitrárias, levando assim ao conceito de diferentes ordens ou graus de coerência. Ordens de coerência podem ser medidas usando funções de correlação clássicas ou usando o análogo quântico dessas funções, que tomam como entrada a descrição mecânico-quântica dos operadores de campo elétrico. O mecanismo subjacente e a descrição dos processos físicos são fundamentalmente diferentes porque a interferência quântica lida com a interferência de histórias possíveis, enquanto a interferência clássica lida com a interferência de ondas físicas. Considerações análogas se aplicam a outros sistemas ondulatórios. Por exemplo, o caso das Correlações de Bose–Einstein em física da matéria condensada.
Introdução
Coerência de primeira ordem A função de correlação normalizada de primeira ordem é escrita como:
γ
( 1 )
(
r
1
,
t
1
;
r
2
,
t
2
) =
⟨
E
∗
(
r
1
,
t
1
) E (
r
2
,
t
2
)
⟩
[
⟨
|
E (
r
1
,
t
1
)
|
2
⟩
⟨
|
E (
r
2
,
t
2
)
|
2
⟩
]
1 2
,
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{\frac {1}{2}}}},}
onde
⟨ ⋯ ⟩
{\displaystyle \langle \cdots \rangle }
denota uma média de conjunto (estatística). Para estados não estacionários, como pulsos, o conjunto é composto por muitos pulsos. Quando se lida com estados estacionários, onde as propriedades estatísticas não mudam com o tempo, pode-se substituir a média de conjunto por uma média temporal. Se nos restringirmos a ondas planas paralelas entre si, então
r
= z
{\displaystyle \mathbf {r} =z}
. Neste caso, o resultado para estados estacionários não dependerá de
t
1
{\displaystyle t_{1}}
, mas do atraso temporal
τ =
t
1
−
t
2
{\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}
(ou
τ =
t
1
−
t
2
+
z
1
−
z
2
c
{\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}+{\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}
se
z
1
≠
z
2
{\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}
). Isso nos permite escrever uma forma simplificada[carece de fontes]?
γ
( 1 )
( τ ) =
⟨
E
∗
( t ) E ( t + τ )
⟩
⟨
|
E ( t )
|
2
⟩
,
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}
onde agora calculamos a média sobre t.
Em interferômetros ópticos como o interferômetro de Michelson, interferômetro de Mach–Zehnder ou interferômetro de Sagnac, divide-se um campo elétrico em dois componentes, introduz-se um atraso temporal em um dos componentes e depois os recombinam. A intensidade do campo resultante é medida em função do atraso temporal. Neste caso específico envolvendo duas intensidades de entrada iguais, a visibilidade do padrão de interferência resultante é dada por:
ν
=
|
γ
( 1 )
( τ )
|
ν
=
|
γ
( 1 )
(
r
1
,
t
1
;
r
2
,
t
2
)
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\tau )\right|\\\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|\end{aligned}}}
onde a segunda expressão envolve a combinação de dois pontos espaço-temporais de um campo. A visibilidade varia de zero, para campos elétricos incoerentes, a um, para campos elétricos coerentes. Qualquer coisa entre esses extremos é descrita como parcialmente coerente. Geralmente,
γ
( 1 )
( 0 ) = 1
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(0)=1}
e
γ
( 1 )
( τ ) =
γ
( 1 )
( − τ
)
∗
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=\gamma ^{(1)}(-\tau )^{*}}
. Para luz de uma única frequência (de uma fonte pontual):
γ
( 1 )
( τ ) =
e
− i
ω
0
τ
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }}
Para luz caótica lorentziana (por exemplo, alargamento por colisão):
γ
( 1 )
( τ ) =
e
− i
ω
0
τ −
|
τ
|
τ
c
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {|\tau |}{\tau _{c}}}}}
Para luz caótica gaussiana (por exemplo, alargamento Doppler):
γ
( 1 )
( τ ) =
e
− i
ω
0
τ −
π 2
(
τ
τ
c
)
2
{\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\tau }{\tau _{c}}}\right)^{2}}}
Aqui,
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
é a frequência central da luz e
τ
c
{\displaystyle \tau _{c}}
é o tempo de coerência da luz.
Descrição clássica do experimento de dupla fenda
No experimento de dupla fenda, originalmente por Thomas Young em 1801, a luz de uma fonte luminosa é permitida passar através de dois orifícios separados por alguma distância, e uma tela é colocada a alguma distância dos orifícios onde a interferência entre as ondas de luz é observada (Figura 1). O experimento de dupla fenda de Young demonstra a dependência da interferência na coerência, especificamente na correlação de primeira ordem. Este experimento é equivalente ao interferômetro de Mach–Zehnder com a ressalva de que o experimento de dupla fenda de Young está preocupado com a coerência espacial, enquanto o interferômetro de Mach–Zehnder depende da coerência temporal. A intensidade medida na posição
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
no tempo
t
{\displaystyle t}
é
⟨ I ⟩ = ⟨
|
E
+
(
r
, t )
|
2
⟩ = ⟨ I ⟩ =
I
1
+
I
2
+ 2
I
1
I
2
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
cos
φ (
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \langle I\rangle =\langle |E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}\rangle =\langle I\rangle =I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos {\phi (x_{1},x_{2})}}
. O campo de luz tem o mais alto grau de coerência quando o padrão de interferência correspondente tem o contraste máximo na tela. O contraste das franjas é definido como
V =
I
m a x
−
I
m i n
I
m a x
+
I
m i n
{\displaystyle V={\frac {I_{\rm {max}}-I_{\rm {min}}}{I_{\rm {max}}+I_{\rm {min}}}}}
. Classicamente,
I
m i n
m a x
=
I
1
+
I
2
± 2
I
1
I
2
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
{\displaystyle I_{\rm {min}}^{\rm {max}}=I_{1}+I_{2}\pm 2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}
e, portanto,
V =
2
I
1
I
2
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
I
1
+
I
2
{\displaystyle V={\frac {2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}{I_{1}+I_{2}}}}
. Como a coerência é a capacidade de interferir, a visibilidade e a coerência estão ligadas:
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
= 1
{\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=1}
significa maior contraste, coerência completa
0 <
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
< 1
{\displaystyle 0<|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|<1}
significa visibilidade parcial das franjas, coerência parcial
|
γ
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
= 0
{\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=0}
significa sem contraste, incoerência completa.
Descrição quântica do experimento de dupla fenda Classicamente, o campo elétrico em uma posição
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
é a soma dos componentes do campo elétrico dos dois orifícios em
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
e
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
nos tempos anteriores
t
1
,
t
2
{\displaystyle t_{1},t_{2}}
respectivamente, ou seja,
E
+
(
r
, t ) =
E
+
(
r
1
,
t
1
) +
E
+
(
r
2
,
t
2
)
{\displaystyle E^{+}(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+E^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})}
. Correspondentemente, na descrição quântica os operadores de campo elétrico são similarmente relacionados,
E ^
+
(
r
, t ) =
E ^
+
(
r
1
,
t
1
) +
E ^
+
(
r
2
,
t
2
)
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)={\hat {E}}^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+{\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})}
. Isso implica
I =
T r
[ ρ
E ^
−
(
r
, t )
E ^
+
(
r
, t ) ] =
I
1
+
I
2
+ 2
I
1
I
2
|
g
( 1 )
(
x
1
,
x
2
)
|
cos φ (
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle I=\mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{-}(\mathbf {r} ,t){\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)]=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|g^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos \phi (x_{1},x_{2})}
. A intensidade flutua em função da posição, ou seja, o tratamento mecânico-quântico também prevê franjas de interferência. Além disso, de acordo com o entendimento intuitivo de coerência, ou seja, a capacidade de interferir, os padrões de interferência dependem da função de correlação de primeira ordem
g
( 1 )
{\displaystyle g^{(1)}}
. Comparando isso com a intensidade clássica, notamos que a única diferença é que a correlação clássica normalizada
γ
( 1 )
{\displaystyle \gamma ^{(1)}}
é agora substituída pela correlação quântica
g
( 1 )
{\displaystyle g^{(1)}}
. Mesmo os cálculos aqui parecem surpreendentemente semelhantes aos que poderiam ser feitos classicamente. No entanto, a interferência quântica que ocorre neste processo é fundamentalmente diferente da interferência clássica das ondas eletromagnéticas. A interferência quântica ocorre quando duas histórias possíveis, dado um estado inicial e final particular, interferem. Neste experimento, dado um estado inicial do fóton antes do orifício e seu estado final na tela, as duas histórias possíveis correspondem aos dois orifícios através dos quais o fóton poderia ter passado. Portanto, mecanicamente quântica, aqui o fóton está interferindo consigo mesmo. Tal interferência de diferentes histórias, no entanto, ocorre apenas quando o observador não tem nenhuma maneira específica de determinar qual das diferentes histórias realmente ocorreu. Se o sistema for observado para determinar o caminho do fóton, então, em média, a interferência de amplitudes desaparecerá.
Coerência de segunda ordem
A função de correlação normalizada de segunda ordem é escrita como:
g
( 2 )
(
r
1
,
t
1
;
r
2
,
t
2
) =
⟨
E
∗
(
r
1
,
t
1
)
E
∗
(
r
2
,
t
2
) E (
r
2
,
t
2
) E (
r
1
,
t
1
)
⟩
⟨
|
E (
r
1
,
t
1
)
|
2
⟩
⟨
|
E (
r
2
,
t
2
)
|
2
⟩
{\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}
. Observe que isso não é uma generalização da coerência de primeira ordem. Se os campos elétricos são considerados clássicos, podemos reordená-los para expressar
g
( 2 )
{\displaystyle g^{(2)}}
em termos de intensidades. Uma onda plana paralela em um estado estacionário terá
g
( 2 )
( τ ) =
⟨
I ( t ) I ( t + τ )
⟩
⟨
I ( t )
⟩
2
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}
. A expressão acima é par,
g
( 2 )
( τ ) =
g
( 2 )
( − τ )
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}
. Para campos clássicos, pode-se aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz às intensidades na expressão acima (já que são números reais) para mostrar que
g
( 2 )
( τ ) ≤
g
( 2 )
( 0 )
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}
. A desigualdade
⟨
I ( t ) I ( t )
⟩
−
⟨
I ( t )
⟩
2
=
⟨
[
I ( t ) −
⟨
I ( t )
⟩
]
2
⟩
≥ 0
{\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0}
mostra que
1 ≤
g
( 2 )
( 0 ) ≤ ∞
{\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }
. Assumindo independência das intensidades quando
τ → + ∞
{\displaystyle \tau \to +\infty }
leva a
g
( 2 )
( + ∞ ) = 1
{\displaystyle g^{(2)}(+\infty )=1}
. No entanto, a coerência de segunda ordem para uma média sobre franjas de saídas complementares de interferômetro de um estado coerente é apenas 0,5 (embora
g
( 2 )
= 1
{\displaystyle g^{(2)}=1}
para cada saída). E
g
( 2 )
{\displaystyle g^{(2)}}
(calculada a partir de médias) pode ser reduzida a zero com um nível de disparo discriminador adequado aplicado ao sinal (dentro da faixa de coerência). Diz-se que a luz é aglomerada se
g
( 2 )
( τ ) <
g
( 2 )
( 0 )
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}
e antiaglomerada se
g
( 2 )
( τ ) >
g
( 2 )
( 0 )
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}
. A luz caótica de todos os tipos (alargamento lorentziano ou gaussiano) é aglomerada, seguindo a relação de Siegert
g
( 2 )
( τ ) = 1 +
|
g
( 1 )
( τ )
|
2
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+\left|g^{(1)}(\tau )\right|^{2}}
. Observe que o efeito Hanbury Brown e Twiss usa esse fato para encontrar
|
g
( 1 )
( τ )
|
{\displaystyle \left|g^{(1)}(\tau )\right|}
a partir de uma medição de
g
( 2 )
( τ )
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )}
. O aglomeramento da luz caótica pode ser pensado como vindo de variações temporais na probabilidade de emissão devido à emissão estimulada. Isto é, uma vez que um fóton é emitido espontaneamente, ele deve viajar através do meio emissor antes de irradiar para o campo distante. Durante este breve trânsito, ele pode causar emissão estimulada em outros estados excitados, levando a uma maior probabilidade de fótons serem emitidos coerentemente com atraso temporal próximo de zero, ou seja, um pico em
g
( 1 )
( τ )
{\displaystyle g^{(1)}(\tau )}
em
τ = 0
{\displaystyle \tau =0}
. Para luz de uma única frequência:
g
( 2 )
( τ ) = 1
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1}
. Assim, a luz laser não é nem aglomerada nem antiaglomerada. No caso de anticonglomerado de fótons, para
τ = 0
{\displaystyle \tau =0}
temos
g
( 2 )
( 0 ) = 0
{\displaystyle g^{(2)}(0)=0}
para uma fonte de fóton único porque
g
( 2 )
( 0 ) =
⟨
n ( n − 1 )
⟩
⟨ n ⟩
2
,
{\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},}
onde
n
{\displaystyle n}
é o observável número de fótons.
Generalização O campo elétrico
E (
r
, t )
{\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)}
pode ser separado em seus componentes de frequência positiva e negativa
E (
r
, t ) =
E
+
(
r
, t ) +
E
−
(
r
, t )
{\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r} ,t)+E^{-}(\mathbf {r} ,t)}
. Qualquer um dos dois componentes de frequência contém toda a informação física sobre a onda. A função de correlação clássica de primeira ordem, segunda ordem e n-ésima ordem são definidas da seguinte forma
G
c
( 1 )
(
x
1
,
x
2
) = ⟨
E
−
(
x
1
)
E
+
(
x
2
) ⟩
{\displaystyle G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{2})=\langle E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{2})\rangle }
,
G
c
( 2 )
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
) = ⟨
E
−
(
x
1
)
E
−
(
x
2
)
E
+
(
x
3
)
E
+
(
x
4
) ⟩
{\displaystyle G_{c}^{(2)}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\langle E^{-}(x_{1})E^{-}(x_{2})E^{+}(x_{3})E^{+}(x_{4})\rangle }
,
G
c
( n )
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
2 n
) = ⟨
E
−
(
x
1
) . . .
E
−
(
x
n
)
E
+
(
x
n + 1
) . . .
E
+
(
x
2 n
) ⟩
{\displaystyle G_{c}^{(n)}(x_{1},x_{2},...,x_{2n})=\langle E^{-}(x_{1})...E^{-}(x_{n})E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n})\rangle }
, onde
x
i
{\displaystyle x_{i}}
representa
(
r
i
,
t
i
)
{\displaystyle (\mathbf {r} _{i},t_{i})}
. Embora a ordem de
E
+
(
r
, t )
{\displaystyle E^{+}(\mathbf {r} ,t)}
e
E
−
(
r
, t )
{\displaystyle E^{-}(\mathbf {r} ,t)}
não importe no caso clássico, pois são meramente números e, portanto, comutam, o ordenamento é vital no análogo quântico dessas funções de correlação. A função de correlação de primeira ordem, medida no mesmo tempo e posição, nos dá a intensidade, ou seja,
G
c
( 1 )
(
x
1
,
x
1
) = I
{\displaystyle G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})=I}
. A função de correlação normalizada clássica de n-ésima ordem é definida dividindo a função de correlação de n-ésima ordem por todas as intensidades correspondentes:
γ
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
) =
G
c
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
)
G
c
( 1 )
(
x
1
,
x
1
) . . .
G
( 1 )
(
x
n
,
x
n
)
{\displaystyle \gamma ^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G_{c}^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}}
.
Descrição quântica Em mecânica quântica, os componentes de frequência positiva e negativa do campo elétrico são substituídos pelos operadores
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
e
E ^
−
{\displaystyle {\hat {E}}^{-}}
, respectivamente. Na imagem de Heisenberg,
E ^
+
= i
∑
k
, μ
ħ
ω
k
2
ε
0
V
a ^
k
, μ
e
i
k
.
r
e
k
, μ
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}=i\sum \limits _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{k}}{2\epsilon _{0}V}}}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mu }e^{i\mathbf {k} .\mathbf {r} }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}
, onde
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
é o vetor de polarização,
e
k
, μ
{\displaystyle \mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}
é o vetor unitário perpendicular a
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
, com
μ
{\displaystyle \mu }
significando um dos dois vetores que são perpendiculares ao vetor de polarização,
ω
k
{\displaystyle \omega _{k}}
é a frequência do modo e
V
{\displaystyle V}
é o volume. A função de correlação quântica de n-ésima ordem é definida como:
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
) =
T r
[
ρ ^
E ^
−
(
x
1
) . . .
E ^
−
(
x
n
)
E ^
+
(
x
n + 1
) . . .
E ^
+
(
x
2 n
) ]
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1})...{\hat {E}}^{-}(x_{n}){\hat {E}}^{+}(x_{n+1})...{\hat {E}}^{+}(x_{2n})]}
. A ordem dos operadores
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
e
E ^
−
{\displaystyle {\hat {E}}^{-}}
é importante. Isso ocorre porque os componentes de frequência positiva e negativa (
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
e
E ^
−
{\displaystyle {\hat {E}}^{-}}
) são proporcionais aos operadores de aniquilação e criação, respectivamente, e
a ^
{\displaystyle {\hat {a}}}
e
a ^
†
{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
não comutam. Quando os operadores são escritos na ordem mostrada na equação acima, diz-se que estão em ordenamento normal. Subsequentemente, a função de correlação normalizada de n-ésima ordem é definida como:
g
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
) =
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
)
G
( 1 )
(
x
1
,
x
1
) . . .
G
( 1 )
(
x
n
,
x
n
)
{\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}}
.Diz-se que um campo é coerente de m-ésima ordem se a função de correlação normalizada de m-ésima ordem é unitária. Esta definição vale tanto para
γ
( m )
{\displaystyle \gamma ^{(m)}}
quanto para
g
( m )
{\displaystyle g^{(m)}}
.
Exemplos
Experimento de Hanbury Brown e Twiss
No experimento de Hanbury Brown e Twiss (Figura 2), um feixe de luz é dividido usando um divisor de feixe e então detectado por detectores, que são equidistantes do divisor de feixe. Subsequentemente, o sinal medido pelo segundo detector é atrasado pelo tempo
τ
{\displaystyle \tau }
e a taxa de coincidência entre o sinal original e o atrasado é contada. Este experimento correlaciona intensidades,
|
E
+
(
r
, t + τ )
E
+
(
r
, t )
|
2
{\displaystyle |E^{+}(\mathbf {r} ,t+\tau )E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}
, em vez de campos elétricos e, portanto, mede a função de correlação de segunda ordem
G
c
( 2 )
( t , t + τ , t + τ , t ) = ⟨
E
−
( t )
E
−
( t + τ )
E
+
( t + τ )
E
+
( t ) ⟩
{\displaystyle G_{c}^{(2)}(t,t+\tau ,t+\tau ,t)=\langle E^{-}(t)E^{-}(t+\tau )E^{+}(t+\tau )E^{+}(t)\rangle }
. Sob a suposição de estatísticas estacionárias, em uma determinada posição, a função de correlação normalizada é
g
( 2 )
=
⟨
E ^
−
( 0 )
E ^
−
( τ )
E ^
+
( τ )
E ^
+
( 0 ) ⟩
⟨
E ^
−
( 0 )
E ^
+
( 0 ) ⟩ ⟨
E ^
−
( τ )
E ^
+
( τ ) ⟩
{\displaystyle g^{(2)}={\frac {\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{+}(0)\rangle }{\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)\rangle \langle {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau )\rangle }}}
.
g
( 2 )
{\displaystyle g^{(2)}}
aqui mede a probabilidade de coincidência de dois fótons serem detectados com uma diferença de tempo
τ
{\displaystyle \tau }
. Para todas as variedades de luz caótica, a seguinte relação entre as coerências de primeira e segunda ordem é válida:
g
( 2 )
( τ ) = 1 +
|
g
( 1 )
( τ )
|
2
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}}
. Esta relação é verdadeira tanto para as funções de correlação clássicas quanto para as quânticas. Além disso, como
|
g
( 1 )
( τ )
|
{\displaystyle |g^{(1)}(\tau )|}
sempre assume um valor entre 0 e 1, para um feixe de luz caótica,
1 ≤
g
( 2 )
≤ 2
{\displaystyle 1\leq g^{(2)}\leq 2}
. A fonte de luz usada por Hanbury Brown e Twiss era a luz estelar, que é caótica. Hanbury Brown e Twiss usaram este resultado para calcular a coerência de primeira ordem a partir de sua medição da coerência de segunda ordem. A curva de coerência de segunda ordem observada foi como mostrado na figura 2. Para uma fonte de luz gaussiana
g
( 1 )
=
e
− i
ω
0
τ −
π 2
(
τ
τ
0
)
2
{\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}
. Frequentemente, uma fonte de luz gaussiana é caótica e, consequentemente,
g
( 2 )
( τ ) = 1 +
e
−
π 2
(
τ
τ
0
)
2
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}
. Este modelo se ajusta à observação que foi feita por Hanbury Brown e Twiss usando luz estelar, como demonstrado na figura 3. Se a luz térmica fosse usada em vez da luz estelar na mesma configuração, então veríamos uma função diferente para a coerência de segunda ordem. A luz térmica pode ser modelada como um espectro de potência lorentziano centrado em torno da frequência
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
, o que significa
⟨
E
∗
( 0 ) E ( τ ) ⟩ =
E
0
2
e
−
|
τ
|
/
τ
0
{\displaystyle \langle E^{*}(0)E(\tau )\rangle =E_{0}^{2}e^{-|\tau |/\tau _{0}}}
, onde
τ
0
{\displaystyle \tau _{0}}
é o comprimento de coerência do feixe. Correspondentemente,
g
( 1 )
=
e
− i
ω
0
τ −
|
τ
|
/
τ
0
{\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -|\tau |/\tau _{0}}}
e
g
( 2 )
( τ ) = 1 +
e
− 2
|
τ
|
/
τ
0
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}
. A coerência de segunda ordem para luz estelar (gaussiana), térmica (lorentziana) e coerente é mostrada na Figura 4. Quando a luz caótica é coerente de primeira ordem, ou seja,
g
( 1 )
( 0 ) = 1
{\displaystyle g^{(1)}(0)=1}
, então
g
( 2 )
( 0 ) = 2
{\displaystyle g^{(2)}(0)=2}
, significando que a luz é incoerente de segunda ordem. Por outro lado, a luz de uma fonte de laser tradicional tem coerência tanto de primeira quanto de segunda ordem. Observe que, em princípio, um campo de luz com um espectro arbitrário que é coerente para todas as ordens pode existir.
Descrição quântica Classicamente, podemos pensar em um feixe de luz como tendo uma distribuição de probabilidade em função das amplitudes dos modos,
P ( {
α
k
} )
{\displaystyle P(\{\alpha _{k}\})}
e, nesse caso, a função de correlação de segunda ordem
G
( 2 )
( τ , 0 ) = ⟨
E
−
( τ )
E
+
( τ )
E
−
( 0 )
E
+
( 0 ) ⟩ = ∫ P ( {
α
k
} )
E
∗
( τ ) E ( τ )
E
∗
( 0 ) E ( 0 ) d {
α
k
}
{\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=\langle E^{-}(\tau )E^{+}(\tau )E^{-}(0)E^{+}(0)\rangle =\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}
. Se assumirmos que o estado quântico da configuração é
ρ = ∫ d {
α
k
} P ( {
α
k
} )
|
{
α
k
} ⟩ ⟨ {
α
k
}
|
{\displaystyle \rho =\int d\{\alpha _{k}\}P(\{\alpha _{k}\})|\{\alpha _{k}\}\rangle \langle \{\alpha _{k}\}|}
, então a função de correlação mecânico-quântica,
G
( 2 )
( τ , 0 ) = T r [ ρ
E ^
−
( τ )
E ^
+
( τ )
E ^
−
( 0 )
E ^
+
( 0 ) ] = ∫ P ( {
α
k
} )
E
∗
( τ ) E ( τ )
E
∗
( 0 ) E ( 0 ) d {
α
k
}
{\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=Tr[\rho {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)]=\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}
, que é o mesmo que o resultado clássico.
Semelhante ao caso do experimento de dupla fenda de Young, a descrição clássica e a quântica levam ao mesmo resultado, mas isso não significa que as duas descrições são equivalentes. Classicamente, os feixes de luz chegam como uma onda eletromagnética e interferem devido ao princípio da superposição. A descrição quântica não é tão direta. Para entender as sutilezas na descrição quântica, suponha que os fótons da fonte são emitidos independentemente uns dos outros na fonte e que os fótons não são divididos pelo divisor de feixe. Quando a intensidade da fonte é ajustada para ser muito baixa, de modo que apenas um fóton possa ser detectado a qualquer momento, considerando o fato de que pode haver coincidências acidentais, que são estatisticamente independentes do tempo, o contador de coincidências não deve mudar em relação à diferença de tempo. No entanto, como mostrado na Figura 3, para luz estelar
g
( 2 )
( τ ) = 1 +
e
− 2
|
τ
|
/
τ
0
{\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}
, então sem qualquer atraso temporal
g
( 2 )
( 0 ) = 2
{\displaystyle g^{(2)}(0)=2}
e com um grande atraso temporal
lim
τ → ∞
g
( 2 )
( τ ) = 1
{\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }g^{(2)}(\tau )=1}
. Portanto, mesmo quando não havia atraso temporal, os fótons da fonte estavam chegando em pares! Este efeito é denominado aglomeramento de fótons. Além disso, se uma luz laser fosse usada na fonte em vez de luz caótica, então a coerência de segunda ordem seria independente do atraso temporal. O experimento de HBT permite uma distinção fundamental na maneira como os fótons são emitidos de um laser em comparação com uma fonte de luz natural. Tal distinção não é capturada pela descrição clássica da interferência de ondas.
Propriedades matemáticas Para os propósitos de experimentos ópticos padrão, a coerência é apenas coerência de primeira ordem e coerências de ordem superior são geralmente ignoradas. Coerências de ordem superior são medidas em experimentos de contagem de coincidência de fótons. A interferometria de correlação usa coerências de quarta ordem e superiores para realizar medições estelares. Podemos pensar em
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
)
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}
como a taxa média de coincidência de detectar
n
{\displaystyle n}
fótons nas posições
x
1
, . . . ,
x
n
{\displaystyle x_{1},...,x_{n}}
. Fisicamente, essas taxas são sempre positivas e, portanto,
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
) ≥ 0
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})\geq 0}
.
Campos coerentes de m-ésima ordem Um campo é chamado coerente de m-ésima ordem se existe uma função
E ( x )
{\displaystyle E(x)}
tal que todas as funções de correlação para
n < m
{\displaystyle n<m}
se fatorizam. Notacionalmente, isso significa
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
) =
∏
j = 1
n
E
∗
( j )
E
∗
( j + 1 )
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\prod \limits _{j=1}^{n}E^{*}(j)E^{*}(j+1)}
. Esta fatorabilidade de todas as funções de correlação
n < m
{\displaystyle n<m}
implica que
|
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
)
|
2
=
∏
j = 1
2 n
G
( 1 )
(
x
j
,
x
j
)
{\displaystyle |G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|^{2}=\prod \limits _{j=1}^{2n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}
. Como
g
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
)
{\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}
foi definido como
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
n
;
x
n
, . . . ,
x
1
)
∏
j = 1
n
G
( 1 )
(
x
j
,
x
j
)
{\displaystyle {\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{\prod \limits _{j=1}^{n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}}}
, segue-se que
|
g
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
)
|
= 1
{\displaystyle |g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|=1}
para
n < m
{\displaystyle n<m}
, se o campo é m-coerente. Para um campo m-coerente, os
m
{\displaystyle m}
fótons sendo detectados serão detectados estatisticamente independentes uns dos outros.
Limites superiores Dado um limite superior em quantos fótons podem estar presentes no campo, há um limite superior na coerência de M-ésima ordem que o campo pode ter. Isso ocorre porque
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
é proporcional ao operador de aniquilação. Para ver isso, comece com um estado misto para o campo
∑
n , m
c
n , m
|
n ⟩ ⟨ m
|
{\displaystyle \sum \limits _{n,m}c_{n,m}|n\rangle \langle m|}
. Se esta soma tem um limite superior em n, m, ou seja,
M > n , m
{\displaystyle M>n,m}
,
T r
[ ρ
E ^
+
(
x
1
) . . .
E ^
+
(
x
p
) ]
{\displaystyle \mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{+}(x_{1})...{\hat {E}}^{+}(x_{p})]}
é proporcional a
T r
[
∑
n , m
c
n , m
a ^
. . . (
p vezes
) . . .
a ^
|
n ⟩ ⟨ m
|
] =
∑
n , m
c
n , m
⟨ m
|
a ^
. . . (
p vezes
) . . .
a ^
|
n ⟩ = 0
{\displaystyle \mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...({\text{p vezes}})...{\hat {a}}|n\rangle \langle m|]=\sum \limits _{n,m}c_{n,m}\langle m|{\hat {a}}...({\text{p vezes}})...{\hat {a}}|n\rangle =0}
para
p > m
{\displaystyle p>m}
. Este resultado seria não intuitivo em uma descrição clássica, mas felizmente tal caso não tem contraparte clássica porque não podemos colocar um limite superior no número de fótons no caso clássico.
Estacionaridade das estatísticas Ao lidar com a óptica clássica, os físicos frequentemente empregam a suposição de que as estatísticas do sistema são estacionárias. Isso significa que, embora as observações possam flutuar, as estatísticas subjacentes do sistema permanecem constantes à medida que o tempo avança. O análogo quântico de estatísticas estacionárias é exigir que o operador densidade, que contém a informação sobre a função de onda, comute com o hamiltoniano. Devido à equação de Schrödinger,
d ρ
d t
=
− i
h
[ H , ρ ]
{\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {-i}{h}}[H,\rho ]}
, estatísticas estacionárias implicam que o operador densidade é independente do tempo. Consequentemente, em
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
)
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}
, devido à ciclicidade do traço, podemos transformar a independência temporal do operador densidade na imagem de Schrödinger na independência temporal de
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
e
E ^
−
{\displaystyle {\hat {E}}^{-}}
, na imagem de Heisenberg, dando-nos
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
) =
T r
[
ρ ^
E ^
−
(
x
1
, t ) . . . .
E ^
−
(
x
n
, t )
E ^
+
(
x
n + 1
, t ) . . .
E ^
+
(
x
2 n
, t ) ]
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t)....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t)...{\hat {E}}^{+}(x_{2n},t)]}
=
T r
[
ρ ^
E ^
−
(
x
1
, t + τ ) . . . .
E ^
−
(
x
n
, t + τ )
E ^
+
(
x
n + 1
, t + τ ) . . .
E ^
+
(
x
2 n
, t + τ ) ]
{\displaystyle =\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t+\tau )....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t+\tau ){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t+\tau )...{\hat {E}}^{+}(x_{2n},t+\tau )]}
. Isso significa que, sob a suposição de que as estatísticas subjacentes do sistema são estacionárias, as funções de correlação de n-ésima ordem não mudam quando cada argumento temporal é transladado pela mesma quantidade. Em outras palavras, em vez de olhar para tempos reais, a função de correlação está preocupada apenas com as
2 n − 1
{\displaystyle 2n-1}
diferenças de tempo.
Estados coerentes Estados coerentes são estados mecânico-quânticos que têm a coerência máxima e têm o comportamento mais "clássico". Um estado coerente é definido como o estado mecânico-quântico que é o autoestado do operador de campo elétrico
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
. Como
E ^
+
{\displaystyle {\hat {E}}^{+}}
é diretamente proporcional ao operador de aniquilação, o estado coerente é um autoestado do operador de aniquilação. Dado um estado coerente
|
α ⟩
{\displaystyle |\alpha \rangle }
,
G
( n )
(
x
1
, . . . ,
x
2 n
) =
T r
[
∑
n , m
c
n , m
a ^
. . .
a ^
|
α ⟩ ⟨ α
|
] = ⟨ α
|
a ^
. . . (
p vezes
) . . .
a ^
|
α ⟩ = 1
{\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...{\hat {a}}|\alpha \rangle \langle \alpha |]=\langle \alpha |{\hat {a}}...({\text{p vezes}})...{\hat {a}}|\alpha \rangle =1}
. Consequentemente, estados coerentes têm todas as ordens de coerências como não nulas.
Referências
